Crecimiento lineal frente a exponencial: por qué cambia la curva

Respuesta directa. Un crecimiento lineal añade cada periodo la misma cantidad; uno exponencial multiplica cada periodo por el mismo factor. Con 10.000 € y un 5 % anual, el interés simple añade 500 € cada año porque siempre calcula sobre los 10.000 € iniciales. El compuesto calcula el segundo año sobre 10.500 €, el tercero sobre 11.025 € y así sucesivamente. Por eso su incremento anual deja de ser constante.

Las palabras «lineal» y «exponencial» describen la forma de dos modelos, no la seguridad de un producto. Una inversión real puede variar, perder valor y soportar costes. La comparación sirve para comprender las fórmulas cuando todos los supuestos se mantienen controlados.

Dos fórmulas con la misma información

Para interés simple:

Capital simple = P × (1 + r × t)

Para capitalización compuesta anual:

Capital compuesto = P × (1 + r)^t

P es el capital inicial, r la tasa anual y t el número de años. En el primer modelo, r × t crece sumando el mismo tramo. En el segundo, el exponente repite una multiplicación.

Ejemplo de veinte años

Mantenemos 10.000 €, 5 % anual y ninguna aportación. Tampoco incluimos inflación, comisiones ni impuestos.

Año	Interés simple	Interés compuesto	Diferencia
0	10.000,00 €	10.000,00 €	0,00 €
1	10.500,00 €	10.500,00 €	0,00 €
5	12.500,00 €	12.762,82 €	262,82 €
10	15.000,00 €	16.288,95 €	1.288,95 €
15	17.500,00 €	20.789,28 €	3.289,28 €
20	20.000,00 €	26.532,98 €	6.532,98 €

El primer año coincide porque todavía no hay rendimiento anterior que reinvertir. Después, la diferencia aumenta. En el año veinte, el modelo compuesto queda un 32,66 % por encima del saldo simple, aunque ambos comenzaron con los mismos datos.

Cómo se forma cada curva

En la trayectoria simple, cada año añade 500 €. La pendiente es constante: la separación vertical entre un año y el siguiente siempre es la misma.

En la compuesta, los incrementos aproximados son 500 € el primer año, 525 € el segundo y 551,25 € el tercero. La pendiente va aumentando porque el 5 % actúa también sobre el crecimiento ya incorporado. Matemáticamente, esa repetición produce una curva convexa.

Los ejercicios guiados de interés simple frente a compuesto convierten esta comparación en problemas con solución y controles. La comparación de Capliz entre ambos modelos permite revisar fórmulas y casos límite, y la calculadora de Investor.gov proporciona un contraste para la trayectoria compuesta.

Qué ocurre con una tasa cero o negativa

Con tasa cero, ambas trayectorias quedan horizontales: 10.000 € continúan siendo 10.000 €. Con una tasa negativa, la interpretación cambia. Un modelo compuesto con −5 % multiplica por 0,95 y se acerca a cero sin cruzarlo en un horizonte finito. Aplicar interés simple durante suficiente tiempo podría producir un saldo negativo, algo que quizá no represente el contrato o activo analizado.

Este caso demuestra que una fórmula puede ser algebraicamente evaluable y, a la vez, no describir bien un producto real. Los límites deben formar parte del resultado.

Aportaciones: una tercera forma de la curva

Si se añaden 200 € al mes, incluso una tasa cero produce una línea ascendente porque entra dinero nuevo. Con tasa positiva, la trayectoria combina aportaciones y crecimiento. Mirar solo la forma ascendente puede llevar a atribuir todo el aumento a la rentabilidad.

Por eso una visualización útil debe mostrar al menos dos series: total aportado y saldo. La distancia entre ellas representa el crecimiento matemático neto de los costes incluidos, no un rendimiento garantizado. Una tercera serie puede reflejar el valor real estimado después de inflación.

La curva suave es una abstracción

Una tasa constante dibuja una trayectoria ordenada. Un mercado puede alternar +12 %, −18 %, +7 % y otros resultados. Aunque el inicio y el final coincidan con la curva teórica, el recorrido y el riesgo habrán sido distintos. La CNMV señala que la rentabilidad debe evaluarse junto con el riesgo y los gastos.

La curva exponencial tampoco crece «rápido» en cualquier escenario. Con tasas moderadas, plazos cortos o costes elevados, la separación puede ser pequeña. Mostrar solo los últimos años de una simulación larga exagera visualmente el efecto si no se conserva una escala honesta.

Procedimiento de comparación limpia

1. Fija un capital inicial idéntico.
2. Utiliza la misma tasa anual y explica su tipo.
3. Mantén el mismo plazo.
4. Elimina aportaciones y costes en la primera prueba.
5. Calcula ambos modelos año a año.
6. Muestra saldo y diferencia, no solo dos curvas sin escala.
7. Añade después una variable cada vez.

La comparación aporta valor cuando revela el mecanismo. No debe utilizarse para presentar el crecimiento compuesto como una promesa inevitable.

Una comprobación visual sin gráfico

Calcula la diferencia entre cierres consecutivos. En el modelo simple será siempre 500 €; en el compuesto formará una secuencia creciente. Este control numérico permite reconocer la forma de la curva aunque una imagen use una escala recortada. Si el eje vertical no empieza en cero o los intervalos temporales no son uniformes, la distancia visual puede exagerarse. Una visualización responsable muestra unidades, periodo y los valores de referencia, y permite consultar la tabla subyacente.