Ejercicios de simple frente a compuesto

Interés simple y compuesto responden a una pregunta distinta sobre la base. En el método simple, cada periodo calcula el rendimiento sobre el capital original. En el compuesto, el rendimiento incorporado pasa a formar parte de la base siguiente. Las expresiones son:

Interés simple: Cn = C0 × (1 + i × n).
Interés compuesto: Cn = C0 × (1 + i)^n.

La ecuación general publicada por Microsoft permite reproducir el segundo caso cuando existen varios periodos de capitalización.

Ejercicio 1: primer periodo

Enunciado. Compara 2.000 € al 5 % anual durante un año con ambos métodos.

Solución.

Simple: 2.000 × (1 + 0,05 × 1) = 2.100 €.
Compuesto: 2.000 × 1,05^1 = 2.100 €.

Comprobación. Tras un único periodo todavía no existe rendimiento anterior que pueda reinvertirse. Por eso coinciden. Si una solución muestra cifras distintas, ha cambiado otro supuesto.

Ejercicio 2: seis años

Enunciado. Un capital de 4.000 € se calcula al 5 % anual durante seis años. Halla ambos resultados y explica la diferencia.

Solución.

Simple = 4.000 × (1 + 0,05 × 6) = 5.200 €.
Compuesto = 4.000 × 1,05^6 = 5.360,38 €.

La diferencia es 160,38 €. En el método simple se generan 200 € cada año. En el compuesto, el primer año también genera 200 €, pero los siguientes calculan el 5 % sobre saldos crecientes.

Comprobación en tabla.

Año	Simple	Compuesto
0	4.000,00 €	4.000,00 €
1	4.200,00 €	4.200,00 €
2	4.400,00 €	4.410,00 €
3	4.600,00 €	4.630,50 €
6	5.200,00 €	5.360,38 €

La columna simple aumenta siempre 200 €. La compuesta añade importes crecientes.

Ejercicio 3: reconocer el método

Enunciado A. «Cada año se abonan 120 € calculados sobre el depósito inicial de 3.000 €».
Enunciado B. «Al cierre de cada año se añade un 4 % al saldo y el nuevo saldo es la base del año siguiente».

Solución. A describe interés simple: la base permanece en 3.000 € y 120/3.000 = 4 %. B describe capitalización compuesta: la base se actualiza.

Comprobación. Tras dos años, A termina en 3.240 €; B en 3.000 × 1,04² = 3.244,80 €. La diferencia de 4,80 € es el 4 % aplicado a los 120 € del primer año.

Ejercicio 4: encontrar el punto de divergencia

Enunciado. Para un capital P y una tasa i positiva, ¿en qué periodo comienza a aparecer una diferencia?

Solución algebraica. En n = 1:

P × (1 + i × 1) = P × (1 + i)^1.

En n = 2:

Simple = P × (1 + 2i).
Compuesto = P × (1 + 2i + i²).

La diferencia es P × i². Comienza al final del segundo periodo.

Comprobación. Con P = 1.000 e i = 10 %, la diferencia esperada es 1.000 × 0,1² = 10 €. Simple: 1.200 €; compuesto: 1.210 €.

Ejercicio 5: una tasa negativa

Enunciado. Compara ambos modelos para 1.000 €, −20 % por periodo y cinco periodos.

Solución.

Simple = 1.000 × (1 − 0,20 × 5) = 0 €.
Compuesto = 1.000 × 0,8^5 = 327,68 €.

Este ejemplo revela un límite conceptual. Extender indefinidamente una pérdida simple puede producir capital negativo, algo que quizá no tenga sentido para el fenómeno modelado. La capitalización negativa se aproxima a cero sin cruzarlo mientras la tasa sea superior a −100 %. Ninguno de los modelos describe por sí solo todos los riesgos o responsabilidades de un producto.

Comprobación. Multiplica sucesivamente por 0,8: 800; 640; 512; 409,60; 327,68.

Cómo no confundir tasa con producto

Que una tabla use capitalización compuesta no implica que un producto real reinvierta automáticamente, mantenga una tasa fija o permita retirar el saldo calculado. Es necesario leer sus condiciones. La definición de TAE del Banco de España sirve para homogeneizar determinadas operaciones, pero no convierte en idénticos productos con riesgos, gastos o liquidez diferentes.

Prueba final y control externo

Calcula 6.000 € al 3 % durante ocho años. El interés simple termina en 7.440 €. El compuesto, en aproximadamente 7.600,62 €. La diferencia debe ser positiva, comenzar en cero en el año uno y ampliarse después.

Puedes usar la calculadora de Investor.gov para verificar solo la columna compuesta. La columna simple debe reproducirse con su ecuación o una tabla. La comparación es válida únicamente si tasa, periodo, capital y ausencia de flujos son comunes.

Ejercicio 6: por qué las aportaciones cambian la comparación

Enunciado. Se parte de 1.000 € y se añaden 500 € al final de cada uno de tres años. La tasa es 10 % anual. Calcula una versión compuesta y explica por qué no basta aplicar la fórmula simple al total de 2.500 €.

Solución compuesta.

Capital inicial = 1.000 × 1,1³ = 1.331 €.
Aportaciones = 500 × (1,1³ − 1) / 0,1 = 1.655 €.
Saldo = 2.986 €.

El total ingresado es 2.500 € y el crecimiento, 486 €. La última aportación entra al cierre y no obtiene rendimiento.

Una operación como 2.500 × (1 + 0,10 × 3) = 3.250 € asignaría tres años de interés simple a dinero que todavía no existía en el escenario. Incluso para construir una columna simple con aportaciones, cada flujo necesita sus propios periodos: el capital inicial recibe tres, el primer pago dos, el segundo uno y el último cero.

Comprobación por cohortes. En la versión compuesta, los cuatro flujos valen al final 1.331 €, 605 €, 550 € y 500 €. La suma es 2.986 €. Esta descomposición muestra qué cantidad estuvo expuesta a cada factor.

Criterio para elegir la ecuación

Busca verbos del enunciado. «Se calcula siempre sobre el capital original» indica simple. «Se incorpora al saldo», «se reinvierte» o «el nuevo saldo es la base» indica compuesto. Si el texto solo dice «interés del 5 %», faltan datos; no elijas por costumbre.

Cuando existe un producto real, la etiqueta comercial tampoco basta. Revisa cómo se liquidan rendimientos, si se reinvierten y qué fechas se usan. Los ejercicios enseñan a leer esa mecánica, no a atribuirla automáticamente.