Grundformel des Zinseszinses
Die Grundformel lautet Kₙ = K₀ × (1 + r)^n. Kₙ ist das Endkapital, K₀ das Startkapital, r der effektive Periodenzins und n die Periodenzahl.
Vor dem Einsetzen ist eine Zeiteinheit festzulegen. Bei einem effektiven Jahreszins zählt n Jahre, bei einem effektiven Monatszins Monate. Prozentwerte werden als Dezimalzahl eingesetzt; aus 5 % wird 0,05.
Ohne weitere Zahlungsströme ist der Zinsertrag Kₙ − K₀. Das Ergebnis ist zunächst ein nominaler Zukunftsbetrag. Inflation, Gebühren und Steuern müssen getrennt berücksichtigt werden, sofern das verwendete Modell sie unterstützt.
Rechenbeispiel
10.000 € bei 5 % effektiv pro Jahr ergeben nach zehn Jahren 10.000 × 1,05^10 = 16.288,95 € vor Kosten, Inflation und Steuern.
Die Rechnung lässt sich schrittweise prüfen: 1 + 0,05 = 1,05; 1,05^10 = 1,6288946268; 10.000 × 1,6288946268 = 16.288,9463. Erst die Anzeige wird auf Cent gerundet. Ein jährliches Runden würde über lange Laufzeiten unnötige Abweichungen erzeugen.
Für 18 Monate wird die Jahresrate nicht zeitanteilig addiert. Stattdessen gilt 10.000 × 1,05^(18/12) = rund 10.759,30 €. Exponent und Zinssatz beziehen sich damit weiterhin auf dieselbe jährliche Einheit.
Nominalzins und unterjährige Verzinsung
Bei einem Nominalzins j mit m Verzinsungen pro Jahr gilt Kₙ = K₀ × (1 + j/m)^(m×t). Der effektive Jahreszins ist (1 + j/m)^m − 1.
Bei 12 % nominal und monatlicher Verzinsung sind j = 0,12 und m = 12. Der Monatszins beträgt 1 %, der effektive Jahreszins 1,01^12 − 1 = 12,6825 %. Sind 12 % dagegen bereits effektiv, lautet der äquivalente Monatszins 1,12^(1/12) − 1 = etwa 0,9489 %.
Für einen belastbaren Vergleich müssen beide Angaben in denselben Effektivzeitraum umgerechnet werden. Eine häufigere Verzinsung ist kein zusätzlicher Vorteil, wenn die verglichenen effektiven Jahreszinsen schon identisch sind.
Formel mit regelmäßigen Einzahlungen
Für konstante nachschüssige Einzahlungen gilt der Rentenendwert A × ((1 + r)^n − 1) / r. Vorschüssige Einzahlungen multiplizieren diesen Wert mit (1 + r).
Aus 5 % effektiv pro Jahr folgt ein Monatszins von rund 0,4074 %. Werden 120 Monate lang jeweils 200 € am Monatsende eingezahlt, ergibt die Formel ungefähr 30.872,63 €. Bei Einzahlung am Monatsanfang sind es etwa 30.998,41 €, weil jede Rate einen Monat länger verzinst wird.
Startkapital und Ratenreihe können getrennt auf den Endzeitpunkt aufgezinst und anschließend addiert werden. Wechselnde Raten, Entnahmen, jährliche Steigerungen und Gebühren erfordern dagegen eine periodengenaue Simulation statt einer einzigen geschlossenen Formel.
Fehler und Sonderfälle
Ein effektiver Jahreszins darf nicht einfach durch zwölf geteilt werden. Bei null Prozent entspricht das Ergebnis dem Startkapital plus allen Einzahlungen.
Da die Rentenformel durch r teilt, wird für r = 0 ihr Grenzwert verwendet: Endwert = Rate × Periodenzahl. Ein Periodenzins von −100 % oder weniger ist in diesem Modell nicht definiert. Extreme Raten und sehr lange Laufzeiten können rechnerisch gültige, aber praktisch wenig aussagekräftige Werte erzeugen.
Zwei Rechner stimmen nur überein, wenn Zinsart, Verzinsungsrhythmus, Einzahlungsbetrag, Häufigkeit, Timing, Laufzeit, Gebühren und Inflationsbehandlung gleich sind. Eine Abweichung weist daher nicht automatisch auf einen Rechenfehler hin.
Ergebnis richtig prüfen
Zinssatz und Zeiteinheit müssen zusammenpassen. Unterscheide Effektivzins und Nominalzins und lege fest, wann jede Einzahlung erfolgt. Eine Handrechnung stimmt mit Capliz überein, wenn Kapital, Zahlungsströme, Timing, Zinsart und Zeitraum identisch sind.