Ejercicios intermedios de interés compuesto

El nivel intermedio comienza cuando el dato anual y el calendario real ya no coinciden. Los problemas siguientes obligan a convertir tasas, separar flujos y declarar el momento de las aportaciones. La dificultad no está en pulsar más teclas, sino en conservar la coherencia temporal.

La documentación de Microsoft sobre la función VF destaca dos reglas decisivas: tasa y número de periodos deben compartir unidad, y el argumento tipo distingue pagos al final o al principio. Esas reglas se aplican también fuera de Excel.

Ejercicio 1: convertir una tasa efectiva anual

Enunciado. Un escenario usa una tasa anual efectiva del 6 %. Se necesita una tabla mensual. ¿Qué tasa mensual reproduce exactamente el 6 % después de doce meses?

Pista. Busca un factor mensual m tal que m^12 = 1,06.

Solución.

Tasa mensual = 1,06^(1/12) − 1 = 0,00486755, es decir, aproximadamente 0,486755 % mensual.

No es 0,5 % exacto. Dividir 6 % entre doce y capitalizar 0,5 % cada mes produce (1,005)^12 − 1 = 6,1678 %, una tasa efectiva anual distinta.

Comprobación. Eleva 1,00486755 a doce. El resultado debe ser 1,06 salvo la pequeña diferencia causada por mostrar pocos decimales.

Ejercicio 2: capital más aportaciones mensuales

Enunciado. Se parte de 3.000 €, se aportan 150 € al final de cada mes durante cuatro años y se usa una tasa anual efectiva constante del 6 %. Calcula el saldo del escenario.

Solución razonada. Hay 48 periodos. La tasa mensual equivalente es la obtenida antes: im = 1,06^(1/12) − 1. El capital inicial y las aportaciones se calculan por separado:

Capital acumulado = 3.000 × (1 + im)^48.
Aportaciones acumuladas = 150 × ((1 + im)^48 − 1) / im.

La suma aproximada es 11.876,01 €. El total ingresado es 3.000 + 48 × 150 = 10.200 €, por lo que el crecimiento matemático ronda 1.676,01 €.

Comprobación. Con tasa cero, el saldo sería exactamente 10.200 €. Con tasa positiva y sin costes, 11.876,01 € es coherente. Además, la última aportación realizada al final del mes 48 no obtiene rendimiento; la primera obtiene 47 periodos. Una tabla mensual debe reflejarlo.

Ejercicio 3: principio frente a final de mes

Enunciado. Repite el ejercicio anterior suponiendo que cada aportación entra al principio del mes.

Pista. Toda la serie de aportaciones obtiene un periodo adicional.

Solución. La anualidad anticipada se obtiene multiplicando la anualidad vencida por (1 + im):

Aportaciones anticipadas = 150 × ((1 + im)^48 − 1) / im × (1 + im).

El capital inicial no cambia de tratamiento. El saldo aproximado pasa a 11.915,38 €. La diferencia, unos 39,37 €, no procede de aportar más, sino de exponer cada aportación un mes adicional a la tasa del escenario.

Comprobación. La diferencia entre ambas series debe ser igual al rendimiento de un periodo aplicado al valor futuro de las aportaciones vencidas. Si la versión anticipada diera menos, el orden está invertido.

Ejercicio 4: aportación trimestral equivalente

Enunciado. Una persona puede aportar 150 € cada mes o 450 € al final de cada trimestre. En ambos casos ingresa 1.800 € al año. ¿Producen el mismo saldo con tasa positiva?

Solución conceptual. No. En la opción mensual, 150 € del primer mes y 150 € del segundo comienzan a crecer antes de que llegue el final del trimestre. En la opción trimestral, los 450 € entran juntos después. Con aportaciones al final, el calendario mensual termina ligeramente por encima, aunque el total ingresado sea idéntico.

Para cuantificarlo durante un trimestre, usa im. La serie mensual al final del trimestre vale 150 × (1 + im)^2 + 150 × (1 + im) + 150. La trimestral vale 450. La diferencia es pequeña en un trimestre, pero se repite.

Comprobación. Con tasa cero ambas alternativas coinciden exactamente. Este caso límite demuestra que la diferencia procede solo del tiempo de exposición.

Ejercicio 5: base de días declarada

Enunciado. Dos cálculos diarios utilizan la misma tasa nominal, pero uno divide entre 360 y otro entre 365. ¿Puede compararse la cifra final sin más?

Solución. No. La base de días es parte del supuesto. El Banco de España explica que el uso del año comercial o civil debe ser claro y no puede ocultarse en una operación. Para comparar, hay que reproducir ambas convenciones o transformar los resultados a una medida común adecuada al caso.

Comprobación. Anota la tasa diaria y el número de días usados en cada versión. Si solo cambia el denominador, ya se ha localizado la causa de la divergencia.

Rúbrica para pasar al nivel avanzado

Una solución intermedia está completa cuando incluye una línea temporal, la conversión de tasa, el número de periodos, el momento de cada flujo, el total ingresado y una verificación. También debe distinguir un escenario matemático de un producto real: la tasa constante no incorpora variaciones de mercado, fiscalidad personal ni condiciones contractuales.

Puedes contrastar el segundo ejercicio en la calculadora de Investor.gov, siempre que configures la misma frecuencia y el mismo momento de las aportaciones. Si no existe ese selector, la herramienta no está reproduciendo exactamente el mismo problema.

Microprueba de integración

Un capital de 2.000 € recibe 100 € al principio de cada mes durante un año con 3 % anual efectivo. Escribe, sin calcular, las cuatro piezas de la solución: doce periodos, tasa mensual (1,03)^(1/12) − 1, valor futuro del capital y anualidad anticipada multiplicada por un factor mensual adicional.

Comprueba luego dos límites. Con aportación cero queda 2.060 €. Con tasa cero queda 3.200 €. El resultado completo con tasa positiva debe superar ambos valores relevantes: supera 3.200 € porque no hay costes y conserva los 2.000 € más los doce pagos. Si no ocurre, revisa signos o momento.