Ejercicios para calcular la tasa

Calcular una tasa significa encontrar el factor periódico que transforma unos flujos conocidos en un saldo conocido. En el caso más simple se despeja con una raíz. Con aportaciones, la tasa aparece en varios términos y suele encontrarse por iteración.

Una tasa siempre necesita apellido: efectiva anual, efectiva mensual, nominal anual con cierta frecuencia o tasa total del periodo. El Banco de España define la TAE como una medida anual; informar solo «5 %» deja una ambigüedad temporal.

Ejercicio 1: tasa anual con capital único

Enunciado. 10.000 € se convierten en 15.000 € al cabo de siete años, sin flujos. ¿Qué tasa anual efectiva constante reproduce el resultado?

Solución.

15.000 / 10.000 = (1 + i)^7.
i = 1,5^(1/7) − 1 = 5,9634 % anual, aproximadamente.

Comprobación. Multiplica 10.000 por 1,059634^7. Debe aproximarse a 15.000. Una media simple de 50 % / 7 = 7,1429 % sería incorrecta porque no considera la capitalización.

Ejercicio 2: tasa mensual y equivalente anual

Enunciado. Un saldo pasa de 5.000 € a 5.618 € en 24 meses. Halla la tasa mensual y su equivalente anual efectivo.

Solución.

im = (5.618 / 5.000)^(1/24) − 1 ≈ 0,486755 % mensual.

La tasa anual equivalente es (1 + im)^12 − 1, 6,00 % anual.

Comprobación. Capitaliza la tasa mensual 24 veces y la anual dos veces. Ambos caminos deben devolver prácticamente el mismo factor total.

Ejercicio 3: una pérdida y su recuperación

Enunciado. Un capital cae de 8.000 € a 6.000 € en un año. ¿Qué tasa describe la caída? ¿Qué tasa necesita después para volver a 8.000 € en un año?

Solución. La primera tasa es 6.000/8.000 − 1 = −25 %. La recuperación es 8.000/6.000 − 1 = 33,333 %.

Las tasas no son simétricas porque el porcentaje de recuperación se aplica sobre una base menor.

Comprobación. 8.000 × 0,75 = 6.000; 6.000 × 1,33333 ≈ 8.000. Sumar −25 % y +25 % produciría 7.500 €, no 8.000 €.

Ejercicio 4: tasa con aportaciones

Enunciado. Se aportan 100 € al final de cada mes durante 36 meses y se observan 3.850 € al final. No hay capital inicial. ¿Qué tasa mensual constante es implícita?

Planteamiento.

3.850 = 100 × ((1 + i)^36 − 1) / i.

No hay un despeje elemental breve. Se prueba una tasa, se calcula el valor futuro y se ajusta. Con i = 0,35 % mensual el saldo queda cerca de 3.829,50 €; con 0,40 %, supera 3.850 €. La solución aproximada es 0,37994 % mensual, sujeta al redondeo del saldo observado.

La función TASA de Microsoft automatiza la iteración para pagos periódicos. Requiere signos coherentes: las aportaciones entregadas y el saldo recibido se expresan con signo opuesto.

Comprobación. Sustituye la tasa con más decimales y exige que el valor futuro se acerque a 3.850 dentro de la tolerancia elegida. Prueba además 0 %: produciría 3.600 €, así que una tasa positiva pequeña es plausible.

Ejercicio 5: datos insuficientes

Enunciado. «He aportado 12.000 € en total y ahora tengo 13.000 € después de tres años. ¿Cuál fue mi tasa?»

Solución. No puede obtenerse una tasa única sin el calendario. Doce mil euros aportados el primer día han estado expuestos tres años; mil euros mensuales tienen antigüedades distintas; una aportación final apenas ha estado expuesta. También faltan retiradas y costes.

Comprobación. Construye dos calendarios con el mismo total aportado y aplica una misma tasa. Obtendrás saldos distintos. Por tanto, invertir el resultado sin conocer los flujos no puede dar una tasa inequívoca.

Cómo informar el resultado

Indica la unidad, la precisión y el método: «5,9634 % anual efectivo, calculado como raíz séptima del factor 1,5». Si se ha iterado, informa la tolerancia y el momento de los pagos. No presentes más decimales de los que sostienen los datos.

La calculadora de Investor.gov sirve para comprobar escenarios constantes. Una tasa implícita explica una ecuación pasada o hipotética; no garantiza que el mismo porcentaje vaya a repetirse.

Ejercicio 6: nominal y efectiva no son dos respuestas iguales

Enunciado. Un capital crece un 6,1678 % efectivo en un año mediante doce periodos iguales. Expresa la tasa mensual y la nominal anual capitalizable mensualmente.

Solución. El factor anual es 1,061678. La tasa mensual es:

im = 1,061678^(1/12) − 1 ≈ 0,5 % mensual.

La nominal anual es 12 × 0,5 % = 6 % nominal anual, capitalizable mensualmente. La efectiva anual permanece cerca de 6,1678 %. Informar solo «6 % anual» perdería la convención.

Comprobación. (1 + 0,06/12)^12 − 1 ≈ 0,061678.

Control de unicidad y dominio

Antes de iterar con aportaciones, evalúa el saldo a dos tasas límite razonables para el ejercicio. Si la función no cruza el objetivo, no existe una solución dentro de ese intervalo. No amplíes hasta porcentajes extremos sin explicar por qué.

Con pagos convencionales de un solo signo y saldo final opuesto, el valor futuro suele aumentar con la tasa y la raíz es única. Con flujos que alternan signos pueden aparecer varias tasas implícitas. En ese caso, una única cifra oculta soluciones y no debe presentarse sin analizar el perfil de la función.

La precisión también depende de los datos. Si el saldo final se conoce solo al euro, seis decimales de tasa crean una falsa exactitud. Informa un intervalo o redondea a una precisión coherente y conserva el valor interno para la comprobación.