Ejercicios básicos de interés compuesto

Estos ejercicios aíslan la mecánica esencial: un capital inicial, una tasa efectiva por periodo y un número entero de periodos. No hay aportaciones, comisiones ni inflación. La fórmula de referencia es Cn = C0 × (1 + i)^n, donde C0 es el capital inicial, i la tasa decimal de cada periodo y n el número de periodos.

La explicación oficial de Microsoft presenta la misma estructura para la capitalización intranual. Aquí comenzamos con periodos anuales para que cada decisión sea visible.

Ejercicio 1: calcular el saldo final

Enunciado. Se colocan 2.400 € durante tres años en un escenario de tasa anual efectiva constante del 4 %. ¿Cuál es el capital final?

Pista. Convierte el 4 % en 0,04 y aplica tres factores de crecimiento iguales.

Solución.

C3 = 2.400 × (1 + 0,04)^3
C3 = 2.400 × 1,124864
C3 = 2.699,67 €

El crecimiento acumulado es 299,67 €. No es exactamente 288 €, que sería sumar tres veces el 4 % del capital original. La diferencia de 11,67 € procede de calcular rendimiento sobre rendimientos ya incorporados.

Comprobación periodo a periodo.

Año	Saldo inicial	4 % del saldo	Saldo final
1	2.400,00 €	96,00 €	2.496,00 €
2	2.496,00 €	99,84 €	2.595,84 €
3	2.595,84 €	103,83 €	2.699,67 €

La tabla coincide con la fórmula cerrada salvo el redondeo mostrado en céntimos.

Ejercicio 2: distinguir decimal y porcentaje

Enunciado. Un estudiante escribe 1.000 × (1 + 5)^2 para representar un 5 % anual durante dos años. Explica el error y calcula el resultado correcto.

Pista. El número 5 dentro de una fórmula representa quinientas veces 0,01.

Solución. El 5 % equivale a 5/100 = 0,05. La expresión correcta es:

1.000 × (1 + 0,05)^2 = 1.000 × 1,1025 = 1.102,50 €.

La expresión errónea produciría 36.000 €, porque multiplica dos veces por seis. Es una alerta útil: una tasa moderada y dos años no pueden convertir 1.000 € en 36.000 € bajo los supuestos indicados.

Comprobación. El crecimiento simple de dos años sería 100 €. La capitalización compuesta debe superar esa cifra solo por el rendimiento sobre los 50 € generados el primer año: 2,50 €. Por tanto, 102,50 € de crecimiento es coherente. Los ejercicios de interés simple frente a compuesto permiten practicar esta diferencia manteniendo capital, tasa y plazo iguales.

Ejercicio 3: tasa cero y tasa negativa

Enunciado. Calcula el capital final de 800 € durante cuatro periodos con una tasa del 0 % y, después, con una tasa del −10 % por periodo.

Solución. Con tasa cero:

800 × (1 + 0)^4 = 800 €.

Con tasa negativa:

800 × (1 − 0,10)^4 = 800 × 0,9^4 = 524,88 €.

Una tasa negativa no se suma como una cantidad fija. Cada pérdida del 10 % se calcula sobre el saldo ya reducido. Después de perder un 10 %, recuperar un 10 % no devuelve al punto inicial: 0,9 × 1,1 = 0,99.

Comprobación. Cuatro multiplicaciones sucesivas por 0,9 dan 720; 648; 583,20; 524,88. La secuencia coincide.

Ejercicio 4: encontrar un dato oculto por inspección

Enunciado. Un capital de 1.500 € termina en 1.815 € después de dos años. ¿Qué tasa anual constante se ha usado?

Pista. Divide capital final entre inicial y busca el factor anual cuya potencia cuadrada coincide.

Solución.

1.815 / 1.500 = 1,21.
Como 1,1² = 1,21, el factor anual es 1,10 y la tasa es 10 % anual.

No hace falta una fórmula avanzada en este caso. La observación de cuadrados conocidos ayuda a interpretar el resultado.

Comprobación. Primer año: 1.500 × 1,10 = 1.650 €. Segundo: 1.650 × 1,10 = 1.815 €.

Prueba de salida

Resuelve sin mirar: 3.000 € al 3 % anual efectivo durante cinco años. La expresión correcta es 3.000 × 1,03^5 y el resultado aproximado, 3.477,82 €. Comprueba dividiendo el resultado por 3.000: el factor total debe aproximarse a 1,159274.

La calculadora de Investor.gov puede servir como verificación externa, no como sustituto del planteamiento. Si una herramienta solicita frecuencia de capitalización, elige anual para reproducir exactamente estos ejercicios.

Qué debes poder explicar

Antes de pasar al nivel intermedio, deberías distinguir capital de crecimiento, escribir porcentajes como decimales, alinear tasa y plazo y justificar por qué aparece una potencia. También deberías reconocer dos controles: con tasa cero nada cambia; con tasa positiva y sin salidas el saldo aumenta.

El Banco de España describe la TAE como una tasa anual equivalente útil para homogeneizar ciertas operaciones. En estos problemas se entrega una tasa anual efectiva ya lista para un periodo anual; no estamos calculando las condiciones contractuales completas de ningún producto real.

Ejercicio 5: una unidad mal elegida

Enunciado. Un capital de 2.000 € utiliza una tasa efectiva mensual del 1 % durante dos años. Un estudiante escribe 2.000 × 1,01². Localiza el error y resuelve.

Pista. El exponente cuenta periodos de la tasa, no el número escrito junto a la palabra «años».

Solución. Dos años contienen 24 meses. La expresión correcta es:

2.000 × 1,01^24 = 2.539,47 €, aproximadamente.

La operación del estudiante solo modela dos meses y produce 2.040,20 €. No es un error de potencia, sino de traducción temporal.

Comprobación. Recorre el primer año: después de doce meses el saldo debe ser 2.000 × 1,01^12 ≈ 2.253,65 €. El saldo a 24 meses tiene que superar esa cifra. Con exponente dos quedaría incluso por debajo del resultado de un año, lo que revela la incoherencia.

Autocorrección sin mirar la solución

Antes de comparar cifras, responde:

1. ¿Qué representa cada símbolo?
2. ¿Cuántos factores se aplican?
3. ¿El saldo debe aumentar, disminuir o quedar igual?
4. ¿Qué resultado habría con tasa cero?
5. ¿Puedo deshacer la operación?

Para el ejercicio 5, divide 2.539,47 por 1,01^24. Debes recuperar cerca de 2.000 €. Esta comprobación inversa es más informativa que volver a pulsar las mismas teclas.

Si los cinco ejercicios se resuelven con ecuación, unidad y control, ya puedes introducir aportaciones o conversiones de tasa. Si uno falla, practica otro del mismo tipo cambiando solo los números; acumular temas nuevos no corrige una base temporal mal entendida.