Ejercicios avanzados de interés compuesto

Los ejercicios avanzados dejan de preguntar solo «¿cuánto habrá?» y obligan a reconstruir la tasa, el plazo o la secuencia de flujos. El cálculo puede ser exacto, iterativo o deliberadamente incompleto. Reconocer cuál de esas situaciones tenemos es parte de la solución.

La tasa constante sigue siendo un supuesto educativo. El boletín de Investor.gov sobre afirmaciones de rentabilidad recuerda que una proyección es hipotética y no equivale a resultados futuros.

Ejercicio 1: despejar el tiempo con logaritmos

Enunciado. ¿Cuántos años necesita un capital para pasar de 12.000 € a 20.000 € con una tasa anual efectiva constante del 4,5 %, sin aportaciones?

Pista. En 20.000 = 12.000 × 1,045^n, la incógnita está en el exponente.

Solución.

20.000 / 12.000 = 1,045^n.
n = ln(20.000 / 12.000) / ln(1,045).
n ≈ 11,61 años.

La respuesta decimal representa aproximadamente 11 años y 7 meses bajo una capitalización fraccionaria coherente. Si el producto solo capitalizara al cierre de años completos, habría que declarar otra convención: al final del año 11 no se alcanza la meta y al final del 12 sí.

Comprobación. Eleva 1,045 a 11,61 y multiplícalo por 12.000. Debe aproximarse a 20.000. Además, a 12 años el saldo es unos 20.350 €, por lo que 11,61 es plausible.

Ejercicio 2: secuencia de tasas variables

Enunciado. Un saldo de 10.000 € experimenta tres variaciones anuales: +12 %, −8 % y +5 %. Calcula el saldo final y la tasa anual compuesta equivalente.

Solución. Los factores se multiplican:

Saldo = 10.000 × 1,12 × 0,92 × 1,05 = 10.819,20 €.

El factor total es 1,08192. La tasa anual compuesta equivalente r satisface (1 + r)^3 = 1,08192:

r = 1,08192^(1/3) − 1 ≈ 2,66 % anual.

La media aritmética de 12 %, −8 % y 5 % es 3 %, pero no reproduce el saldo porque las variaciones actúan sobre bases diferentes.

Comprobación. Calcula 10.000 × (1 + 0,0266)^3. Con más decimales en la tasa equivalente debe coincidir con 10.819,20 €.

Ejercicio 3: tasa implícita con aportaciones

Enunciado. Se aportan 200 € al final de cada mes durante 60 meses y el saldo final observado es 13.500 €. No existe capital inicial. ¿Qué tasa mensual constante reproduce el dato?

Planteamiento.

13.500 = 200 × ((1 + i)^60 − 1) / i.

La incógnita i aparece en varios lugares, de modo que no hay un despeje elemental cómodo. Se necesita tanteo, una función financiera o un algoritmo iterativo.

Solución aproximada. Sin rendimiento se habrían aportado 12.000 €. Probamos 0,35 % mensual: el resultado ronda 13.327 €. Con 0,40 % mensual se superan ligeramente los 13.500 €. La tasa implícita es aproximadamente 0,392245 % mensual, equivalente a cerca de 4,81 % anual efectivo.

Comprobación. Sustituye la tasa mensual con más decimales en la ecuación y exige que la diferencia respecto a 13.500 sea inferior a un céntimo. La función VF documentada por Microsoft utiliza signos opuestos para pagos y valor recibido; un resultado negativo puede reflejar esa convención, no una tasa negativa.

Ejercicio 4: flujo irregular

Enunciado. Hoy se ingresan 5.000 €. Al final del año 1 se añaden 1.000 €, al final del año 3 se retiran 600 € y al final del año 5 se valora el saldo. La tasa constante es 4 % anual. Calcula el resultado.

Solución. Cada flujo viaja hasta el año 5 durante un tiempo distinto:

5.000 × 1,04^5 + 1.000 × 1,04^4 − 600 × 1,04^2.

Los términos valen aproximadamente 6.083,26 €, 1.169,86 € y −648,96 €. El saldo es 6.604,16 €.

Comprobación. Construye cinco filas anuales. Aplica primero el 4 % al saldo de inicio y después registra el flujo de final de año. La retirada del año 3 debe reducir tanto el saldo inmediato como el crecimiento de los dos años restantes.

Ejercicio 5: sensibilidad de una respuesta

Enunciado. Para 12.000 € y doce años sin aportaciones, compara tasas constantes del 3 %, 4,5 % y 6 %.

Solución.

Tasa	Saldo aproximado
3 %	17.109 €
4,5 %	20.350 €
6 %	24.146 €

Un cambio de 1,5 puntos alrededor del escenario central altera el saldo en miles de euros. La tabla no asigna probabilidades ni recomienda una tasa; revela la dependencia del resultado.

Comprobación. Los tres escenarios deben compartir capital, plazo, frecuencia y flujos. Si se cambia más de una variable, ya no se mide sensibilidad a la tasa.

Criterio de solución avanzada

Una buena respuesta dice si el problema admite fórmula cerrada, requiere iteración o no contiene datos suficientes. Informa la tolerancia numérica y verifica por una vía distinta. Cuando se usan resultados históricos para elegir una tasa, deben presentarse como contexto, no como promesa. Investor.gov ofrece una calculadora de interés compuesto útil para escenarios constantes, pero los flujos irregulares y tasas variables deben modelarse explícitamente.

El dominio avanzado no consiste en ocultar complejidad tras una función. Consiste en saber qué representa la función, qué convenciones adopta y qué realidad queda fuera.

Cómo documentar una solución iterativa

Cuando la tasa no se despeja de forma elemental, una respuesta no termina con «lo resolvió Excel». Registra el intervalo inicial, la función que quieres llevar a cero y la tolerancia. Para el ejercicio de 13.500 €, define:

f(i) = 200 × ((1 + i)^60 − 1) / i − 13.500.

Busca un valor inferior con f negativo y otro superior con f positivo. Divide el intervalo y conserva el lado que contiene el cambio de signo. Repite hasta que la diferencia de saldo sea inferior a un céntimo. Este método de bisección es más lento que un solucionador, pero deja una prueba comprensible.

Comprueba además que la solución tiene sentido económico dentro del modelo: con tasa cero el saldo es 12.000 €, así que para alcanzar 13.500 € hace falta una tasa positiva. Si un algoritmo devolviera −2 %, habría encontrado otra cosa o usado signos inconsistentes.

No todas las ecuaciones ofrecen una raíz válida. Pagos, saldo y signos pueden impedirla o producir varias soluciones. Informa el intervalo explorado y no fuerces una tasa solo porque la función de hoja devuelve un número.