Ejercicios de capital final

El capital final es el saldo que resulta en una fecha concreta después de aplicar todos los factores y flujos declarados. No es sinónimo de ganancia. Puede incluir capital inicial, aportaciones posteriores y crecimiento calculado. Esta separación es imprescindible para interpretar una cifra.

La función VF de Excel formaliza el mismo problema para un capital y pagos periódicos constantes. Sus argumentos recuerdan que la tasa debe corresponder al periodo y que el momento del pago modifica el resultado.

Ejercicio 1: un solo capital

Enunciado. Calcula el capital final de 7.500 € durante siete años con una tasa anual efectiva constante del 4,2 %, sin flujos adicionales.

Solución.

C7 = 7.500 × (1 + 0,042)^7 = 10.003,12 €, aproximadamente.

El crecimiento es 10.003,12 − 7.500 = 2.503,12 €. La tasa se expresa como 0,042 y el exponente es siete porque ambos datos son anuales.

Comprobación. Divide el saldo final por el inicial. El factor total debe ser aproximadamente 1,33369. Su raíz séptima debe devolver 1,042. Con tasa cero, el resultado de control sería 7.500 €.

Ejercicio 2: capitalización trimestral nominal

Enunciado. Un escenario parte de 4.000 € y usa una tasa nominal anual del 8 % capitalizable trimestralmente durante tres años. ¿Cuál es el saldo?

Solución. La tasa de cada trimestre es 0,08/4 = 0,02 y existen 3 × 4 = 12 trimestres:

C12 = 4.000 × 1,02^12 = 5.072,97 €.

No debe aplicarse 8 % doce veces. Tampoco debe usarse el exponente tres con 2 %. La tasa nominal y su frecuencia forman una pareja.

Comprobación. La tasa anual efectiva implícita es 1,02^4 − 1 = 8,2432 %. Aplicar ese factor anual durante tres años produce el mismo saldo.

Ejercicio 3: una aportación intermedia

Enunciado. Se ingresan 5.000 € hoy y 2.000 € al final del año dos. La valoración se realiza al final del año cinco con una tasa anual constante del 3 %. Calcula el capital final.

Solución. El capital inicial crece cinco años. La aportación crece tres, porque entra cuando han terminado los dos primeros:

5.000 × 1,03^5 + 2.000 × 1,03^3 = 7.981,82 €.

El total ingresado es 7.000 € y el crecimiento calculado, 981,82 €.

Comprobación. Si por error hicieras crecer ambos importes cinco años, obtendrías una cifra mayor y estarías regalando dos años de exposición a la aportación. Una línea temporal permite detectar el fallo antes de operar.

Ejercicio 4: aportaciones anuales

Enunciado. Un capital inicial de 2.000 € recibe 500 € al final de cada año durante cuatro años. La tasa anual constante es 5 %. ¿Cuál es el saldo justo después de la cuarta aportación?

Solución.

Capital inicial: 2.000 × 1,05^4 = 2.431,01 €.
Aportaciones: 500 × (1,05^4 − 1) / 0,05 = 2.155,06 €.
Total: 4.586,08 €.

La última aportación no genera crecimiento antes de la valoración, porque entra justo al final. Los ingresos suman 4.000 € y el crecimiento es 586,08 €.

Comprobación por recurrencia. Comienza con 2.000 €. Cada año multiplica el saldo por 1,05 y después suma 500. Tras cuatro filas debes llegar a la misma cifra.

Ejercicio 5: detectar un resultado imposible

Enunciado. Para 1.000 €, 2 % anual, dos años y sin retiradas, alguien informa un capital final de 980 €. ¿Puede ser correcto dentro del modelo?

Solución. No. La fórmula da 1.000 × 1,02² = 1.040,40 €. Un saldo inferior requiere algún elemento no declarado: coste, retirada, tasa negativa, impuesto o error. No basta con corregir la cifra; hay que pedir los supuestos que faltan.

Comprobación. Los límites son claros: con tasa cero quedarían 1.000 € y con tasa positiva el saldo debe superar esa cantidad.

Procedimiento general

Primero fija la fecha de valoración. Después lleva cada flujo hasta esa fecha mediante el número de periodos que realmente le corresponden. Suma los valores futuros y concilia el resultado con el total ingresado. Redondea al final.

La calculadora de Investor.gov permite contrastar casos regulares. La definición de TAE del Banco de España ayuda a entender la unidad anual, pero una proyección educativa no incorpora automáticamente todos los gastos o riesgos de un producto.

Ejercicio 6: una retirada antes de la fecha final

Enunciado. Se ingresan 8.000 € hoy, se retiran 1.500 € al final del año tres y se valora el saldo al final del año seis. La tasa anual efectiva constante es 4 %. ¿Cuál es el capital final?

Solución. El capital inicial crece seis años. La retirada reduce el saldo cuando quedan tres años, por lo que su valor futuro se resta:

8.000 × 1,04^6 − 1.500 × 1,04^3 = 8.435,26 €, aproximadamente.

No se resta 1.500 € al final sin crecimiento perdido; retirar en el año tres elimina también la evolución que esa cantidad habría tenido durante los tres años restantes.

Comprobación por tabla. Recorre seis filas. En el año tres calcula primero el 4 % sobre el saldo inicial de ese año y resta después 1.500 €. Las filas cuatro a seis parten del saldo reducido. Con tasa cero, el control es 8.000 − 1.500 = 6.500 €.

Auditoría de la cifra final

Para cualquier problema crea una conciliación:

Capital final = capital aportado neto + crecimiento acumulado.

Si hay retiradas, «capital aportado neto» es ingresos menos salidas; el crecimiento debe calcularse con los signos y fechas correctos. Añade una columna de flujo separado en lugar de modificar silenciosamente el saldo.

Comprueba también monotonicidad con cautela. Más tasa positiva aumenta el saldo solo si los flujos y el dominio se mantienen. Una retirada mayor debería reducirlo. Si una herramienta muestra lo contrario, revisa signos antes de interpretar.