Ejercicios para calcular el tiempo

El tiempo aparece como exponente en la capitalización: Cn = C0 × (1 + i)^n. Para despejarlo se usan logaritmos:

n = ln(Cn/C0) / ln(1 + i).

La expresión presupone un capital inicial positivo, ausencia de flujos y una tasa por periodo superior a −100 %. Cuando existen aportaciones, el plazo se resuelve con la ecuación de anualidades o mediante búsqueda.

Ejercicio 1: alcanzar una proporción

Enunciado. ¿Cuánto tarda un capital de 6.000 € en alcanzar 9.000 € con una tasa anual efectiva constante del 4 %?

Solución.

n = ln(9.000/6.000) / ln(1,04) = 10,338 años.

En un modelo que admite fracciones de año, son aproximadamente diez años y cuatro meses. Si el saldo solo se acredita al final de cada año completo, la meta no se alcanza al cierre del año diez y sí al del once. La convención temporal decide cómo informar la fecha.

Comprobación. 6.000 × 1,04^10 ≈ 8.881,47 €, todavía por debajo. Tras once años, ≈ 9.236,73 €, por encima. La solución decimal debe caer entre ambos.

Ejercicio 2: tiempo de duplicación

Enunciado. Calcula cuántos años necesita un capital para duplicarse al 6 % anual efectivo constante.

Solución.

n = ln(2) / ln(1,06) = 11,896 años.

El capital inicial se cancela: cualquier cantidad se duplica en el mismo plazo bajo una misma tasa constante y sin flujos.

Comprobación. La regla mental de 72 daría 72/6 = 12 años, una aproximación cercana. La ecuación logarítmica ofrece el valor preciso bajo el modelo.

Ejercicio 3: plazo mensual

Enunciado. 4.000 € deben convertirse en 5.000 € con una tasa mensual efectiva del 0,5 %. ¿Cuántos meses hacen falta?

Solución.

n = ln(5.000/4.000) / ln(1,005) = 44,74 meses.

Si solo se capitaliza al cierre de cada mes, se necesitan 45 meses completos. Redondear a 44 haría que el saldo quedara por debajo de la meta.

Comprobación. Calcula 4.000 × 1,005^44 y ^45. La primera cifra debe ser inferior a 5.000 y la segunda igual o superior.

Ejercicio 4: plazo con aportaciones

Enunciado. Sin capital inicial, se aportan 250 € al final de cada mes y se usa una tasa mensual constante del 0,4 %. ¿Cuántos meses completos se necesitan para superar 20.000 €?

Planteamiento.

20.000 = 250 × ((1 + 0,004)^n − 1) / 0,004.

Al despejar:

n = ln(1 + 20.000 × 0,004 / 250) / ln(1,004) ≈ 69,55 meses.

Se necesitan 70 aportaciones mensuales completas para superar el objetivo bajo esta convención.

Comprobación. Evalúa 69 y 70 periodos. También calcula el total ingresado: 17.250 € y 17.500 €, respectivamente. La diferencia hasta el saldo es crecimiento del escenario, no una aportación oculta.

La función NPER de Microsoft resuelve el número de periodos para pagos constantes y exige coherencia entre tasa y pagos.

Ejercicio 5: un problema sin solución

Enunciado. Se parte de 10.000 €, no hay aportaciones y la tasa constante es 0 %. ¿Cuándo se alcanzarán 12.000 €?

Solución. Nunca dentro del modelo. La fórmula logarítmica dividiría por ln(1) = 0, señal de que no existe crecimiento. Con una tasa negativa, el saldo se alejaría aún más.

Comprobación. Todos los periodos mantienen 10.000 € cuando la tasa es cero. No se debe forzar una cifra numérica a un objetivo inalcanzable.

Fechas, días y comunicación

Un plazo de 10,338 años no equivale necesariamente a una fecha exacta sin base de días, fecha inicial y regla de capitalización. El Banco de España trata la diferencia entre año comercial y civil; si se trabaja a días, la convención debe quedar visible.

Puedes contrastar un caso regular en la calculadora de Investor.gov. El plazo resultante pertenece a un escenario con tasa constante. No es una promesa de que una inversión real alcance la meta en esa fecha.

Ejercicio 6: objetivo ya alcanzado

Enunciado. El capital actual es 12.000 € y el objetivo, 10.000 €. No hay retiradas. ¿Qué plazo debe devolver el cálculo?

Solución. El objetivo ya está alcanzado en la fecha inicial. La respuesta operativa es cero periodos, no un logaritmo negativo interpretado como fecha futura. Un motor puede limitar su entrada a un mes; aun así, la interfaz debe informar que no hace falta esperar dentro de la ecuación.

Comprobación. Compara capital actual y objetivo antes de aplicar logaritmos. Este control también evita dividir por una tasa cuando no es necesario.

Ejercicio 7: aportación suficiente con tasa cero

Enunciado. Se parte de 2.000 €, se aportan 300 € al final de cada mes y se busca 5.000 €, con tasa cero. ¿Cuántos pagos completos hacen falta?

Solución.

(5.000 − 2.000) / 300 = 10 meses.

Como la división es exacta, el décimo pago alcanza la meta. Si el resultado fuera 10,2, harían falta once pagos completos. Redondear hacia abajo dejaría el objetivo sin alcanzar.

Comprobación. Después de nueve pagos hay 4.700 €; después de diez, 5.000 €.

Búsqueda por filas para casos complejos

Cuando hay aportaciones crecientes, pausas, costes o tasas variables, puede no existir un despeje limpio. Recorre la tabla hasta localizar la primera fila cuyo saldo comparable alcanza el objetivo. Conserva la fila anterior y la del cruce.

No interpoles linealmente entre meses si el motor solo reconoce pagos y costes discretos. El cruce continuo y la primera fecha operativa son respuestas distintas; informa cuál utilizas.