Ejercicios con aportaciones periódicas

Las aportaciones periódicas parecen uniformes, pero su efecto depende de cuándo entra cada una. Una serie de 36 pagos mensuales no equivale a ingresar la suma completa el primer día. Cada pago tiene una antigüedad distinta en la fecha de valoración.

La fórmula de una anualidad vencida —pagos al final— es A × ((1 + i)^n − 1) / i. Para pagos al principio se multiplica además por (1 + i). La documentación de VF de Microsoft usa el argumento tipo 0 o 1 para expresar precisamente esa diferencia.

Ejercicio 1: serie mensual al final

Enunciado. Se parte de 1.000 € y se añaden 200 € al final de cada mes durante tres años. La tasa anual efectiva constante es 5 %. Calcula el saldo.

Solución. Hay 36 meses y la tasa mensual equivalente es im = 1,05^(1/12) − 1 ≈ 0,407412 %.

Capital inicial = 1.000 × 1,05^3 = 1.157,63 €.
Aportaciones = 200 × ((1 + im)^36 − 1) / im ≈ 7.737,86 €.
Saldo = 8.895,49 €.

Los ingresos suman 1.000 + 36 × 200 = 8.200 €. El crecimiento calculado es aproximadamente 695,49 €.

Comprobación. Crea 36 filas. En cada una aplica la tasa mensual al saldo y suma después 200 €. La última fila debe coincidir. Con tasa cero, el control da 8.200 €.

Ejercicio 2: pagos al principio

Enunciado. Mantén todos los datos, pero ingresa los 200 € al principio de cada mes.

Solución. La serie anticipada vale la serie vencida multiplicada por 1 + im. El saldo pasa a aproximadamente 8.927,01 €.

La diferencia ronda 31,53 €. No se aporta más; cada pago obtiene un mes adicional.

Comprobación. En la tabla, suma primero 200 € y después calcula el rendimiento. Si la versión anticipada no supera a la vencida con tasa positiva, el orden es incorrecto.

Ejercicio 3: una pausa de seis meses

Enunciado. Se aportan 150 € al final de cada mes durante un año, se pausa seis meses y se reanuda durante otro año. La tasa mensual constante es 0,3 %. ¿Cómo se modela?

Solución por tramos. No uses 24 pagos repartidos uniformemente en 30 meses. Calcula los primeros 12 pagos, deja crecer su saldo seis meses sin aportaciones y después aplica una segunda serie de 12 pagos:

Bloque 1 al mes 12 = 150 × (1,003^12 − 1) / 0,003.
Bloque 1 al mes 30 = bloque 1 × 1,003^18.
Bloque 2 al mes 30 = 150 × (1,003^12 − 1) / 0,003.

La suma aproximada es 3.761,38 €. El total aportado es 3.600 €.

Comprobación. Una tabla de 30 filas debe contener exactamente seis ceros en la columna de aportación, en los meses 13 a 18. Si se ven 24 pagos consecutivos, se ha perdido la pausa.

Ejercicio 4: aportación que crece cada año

Enunciado. Se aportan 100 € mensuales el primer año, 110 € el segundo y 120 € el tercero, siempre al final. ¿Puede usarse una sola anualidad constante?

Solución. No sin alterar el calendario. Se calculan tres bloques de doce pagos. El primer bloque debe crecer dos años adicionales hasta la fecha final; el segundo, uno; el tercero ya termina en la fecha de valoración. Si la tasa mensual es im:

VF = Anualidad(100, 12, im) × (1 + im)^24

• Anualidad(110, 12, im) × (1 + im)^12
• Anualidad(120, 12, im).

Comprobación. El total aportado es 1.200 + 1.320 + 1.440 = 3.960 €. Con tasa cero, la expresión debe reducirse exactamente a esa cifra.

Ejercicio 5: mensual frente a anual

Enunciado. Compara 100 € mensuales al final con 1.200 € al final de cada año, durante cinco años y con tasa positiva.

Solución conceptual. El total ingresado es 6.000 € en ambos casos, pero la serie mensual entra antes dentro de cada año. Por eso obtiene un saldo superior si la tasa y las demás condiciones coinciden. No es correcto usar la aportación anual como sustituto exacto del calendario mensual.

Comprobación. Con tasa cero ambos saldos coinciden. La diferencia con tasa positiva debe atribuirse al tiempo, no al importe.

Registro mínimo del ejercicio

Anota importe, frecuencia, fecha de primera aportación, momento dentro del periodo, pausas, crecimiento del importe y fecha de valoración. El Banco de España señala la importancia de hacer explícita la base temporal cuando se calculan intereses.

La calculadora de Investor.gov permite contrastar series regulares. Para pausas o cambios de importe, una tabla por periodos ofrece una representación más fiel. En todos los casos, la tasa constante describe un escenario educativo y no garantiza resultados.

Ejercicio 6: extraordinario con fecha exacta

Enunciado. Además de 100 € al final de cada mes durante dos años, se aportan 500 € extraordinarios al final del mes seis. La tasa mensual constante es 0,4 %. ¿Cómo se añade?

Solución. La serie regular se calcula con 24 pagos. El extraordinario queda expuesto desde el final del mes seis hasta el final del 24: dieciocho periodos.

VF = 100 × (1,004^24 − 1) / 0,004 + 500 × 1,004^18.

El extraordinario no se reparte como 500/24 en todos los meses, porque eso cambia el calendario.

Comprobación. Con tasa cero, la diferencia respecto al escenario regular debe ser exactamente 500 €. Con tasa positiva, debe ser 500 × 1,004^18, superior a 500 €.

Conciliación por cohortes

Para auditar una serie compleja, agrupa pagos con la misma regla: bloque regular, extraordinario, pausa y aportación creciente. Calcula cada bloque por separado y suma sus valores futuros. La tabla mensual es el control común.

Si la suma de cohortes y la tabla divergen, revisa la primera fecha de cada bloque y el número de periodos restantes. Esa comparación localiza mejor el error que modificar la cifra final hasta que coincida.